Teorema celor trei perpendiculare

de EXE · Publicat 21 iunie 2026

Evaluare Națională · clasa a VIII-a

Rotește figura cu degetul sau mouse-ul. Parcurge construcția pas cu pas și vezi cum „se ridică” perpendicularitatea din plan în spațiu.

trage pentru a roti și încearcă toate butoanele

1 / 6 …

…

Legenda culorilor

Muchii vizibile ale corpului

Muchii ascunse (în spate)

Înălțime / perpendiculara pe plan

Proiecția pe plan (umbra)

Oblica / distanța-răspuns

Unghi drept (pătrățel)

Unghiul căutat (arc + literă)

⚠ Greșeli de evitat ▶

M nu este „automat” mijlocul muchiei. M e punctul în care OM ⊥ g. La corpuri regulate coincide cu mijlocul din simetrie — dar asta e o consecință, nu o regulă a teoremei.
Prima perpendiculară trebuie să fie pe TOT planul (AO ⊥ α), nu doar pe dreapta g. Dacă AO e ⊥ doar pe g, teorema nu se aplică.
Proiecția lui A pe plan este O, nu M. A „cade” în O (sub el), iar oblica AM se proiectează în OM.
Unghiul diedru se ia cu vârful în M și ambele laturi ⊥ pe muchie. Nu-l confunda cu unghiul muchiei laterale (ex. ∠VBO) — acela e alt unghi.
Nu amesteca apotemele. OM = l/2 e apotema bazei; VM = √(h² + (l/2)²) e apotema piramidei (înălțimea feței).
„Perpendicular” pentru drepte necoplanare înseamnă unghi de 90° (după translație), chiar dacă dreptele nu se ating — vezi exemplul cu cubul.

aplicații

Trei probleme rezolvate

Două aplicații ale teoremei directe (P1, P2) și una a reciprocei (P3). Fiecare are enunț, cerințe, figură și rezolvare completă.

Problema 1 Piramidă patrulateră regulată teorema directă

Enunț

Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = 8 cm, unde O este centrul bazei. Notăm cu M mijlocul muchiei BC.

Cerințe

Arătați că VM ⊥ BC.
Calculați tangenta unghiului diedru format de planul (VBC) cu planul bazei.
Calculați distanța de la O la planul (VBC).

Fig. 1 — VO ⊥ bază, OM ⊥ BC (proiecția, verde) ⇒ VM ⊥ BC (oblica, roșu). Unghiul diedru = α = ∠VMO.

Rezolvare

a) VM ⊥ BC

Piramida fiind regulată, VO ⊥ (ABCD) (înălțimea cade în centrul bazei). Segmentul OM unește centrul cu mijlocul laturii, deci este apotema bazei și OM ⊥ BC.

Avem perpendiculara pe plan VO, proiecția OM ⊥ BC; prin teorema celor trei perpendiculare rezultă că oblica VM ⊥ BC. □

b) Unghiul diedru (VBC) – bază

Muchia diedrului este BC. În punctul M avem OM ⊥ BC (în bază) și VM ⊥ BC (în față), deci plan-unghiul diedrului este ∠VMO.

În triunghiul VOM, dreptunghic în O: OM = AB/2 = 6 cm, VO = 8 cm.

tg(∠VMO) = VO / OM = 8 / 6 = 4/3

tgα = 4/3 (α ≈ 53°8′)

(Util pentru c): VM = √(VO² + OM²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm — apotema piramidei.)

c) Distanța de la O la planul (VBC)

Cum BC ⊥ OM și BC ⊥ VO, rezultă BC ⊥ (VOM), deci (VBC) ⊥ (VOM) după muchia comună VM. Atunci distanța de la O la planul (VBC) este distanța de la O la dreapta VM, adică înălțimea din O în triunghiul dreptunghic VOM.

d = (VO · OM) / VM = (8 · 6) / 10 = 48/10 = 4,8

d(O, (VBC)) = 4,8 cm

Recapitulare: a) VM ⊥ BC prin TCP · b) tgα = 4/3, VM = 10 cm · c) d(O,(VBC)) = 4,8 cm.

Problema 2 Perpendiculară ridicată pe planul unui triunghi teorema directă

Enunț

Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și AC = 6√3 cm. În A se ridică VA ⊥ (ABC), cu VA = 9 cm. Fie M ∈ BC piciorul perpendicularei din A pe BC.

Cerințe

Arătați că VM ⊥ BC.
Calculați distanța de la V la dreapta BC.
Calculați măsura unghiului dintre VM și planul (ABC).

Fig. 2 — VA ⊥ plan (albastru), AM ⊥ BC proiecția (verde) ⇒ VM ⊥ BC oblica (roșu). Unghiul cu planul = β = ∠VMA.

Rezolvare

Pregătire: latura BC

BC = √(AB² + AC²) = √(36 + 108) = √144 = 12 cm.

a) VM ⊥ BC

Din ipoteză VA ⊥ (ABC) (perpendiculara pe plan), iar AM ⊥ BC (proiecția). Prin teorema celor trei perpendiculare, oblica VM ⊥ BC. □

b) Distanța de la V la BC

Deoarece VM ⊥ BC, distanța căutată este chiar VM. Calculăm întâi înălțimea din unghiul drept:

AM = (AB · AC) / BC = (6 · 6√3) / 12 = 36√3 / 12 = 3√3 cm.

VM = √(VA² + AM²) = √(81 + 27) = √108 = 6√3 cm.

d(V, BC) = VM = 6√3 cm

c) Unghiul dintre VM și planul (ABC)

Proiecția lui VM pe plan este AM (vârful V se proiectează în A), deci unghiul căutat este ∠VMA.

tg(∠VMA) = VA / AM = 9 / (3√3) = 3/√3 = √3 ⇒ ∠VMA = 60°.

m(∠(VM, (ABC))) = 60°

Recapitulare: a) VM ⊥ BC prin TCP · b) d(V,BC) = 6√3 cm · c) unghiul = 60°.

Problema 3 Aplicarea reciprocei teoremei reciproca teoremei

Enunț

Fie VA ⊥ (ABC), cu VA = 6 cm, și un punct M ∈ BC astfel încât VM ⊥ BC. Se cunosc laturile triunghiului: AB = 15 cm, BC = 14 cm, AC = 13 cm.

Cerințe

Arătați că AM ⊥ BC.
Calculați lungimea segmentului AM.
Calculați distanța de la V la dreapta BC.

Fig. 3 — Se dă oblica VM ⊥ BC (roșu); proiecția lui VM pe plan este AM. Reciproca ⇒ AM ⊥ BC (verde).

Rezolvare

a) AM ⊥ BC (reciproca)

Cum VA ⊥ (ABC), vârful V se proiectează în A, deci proiecția oblicei VM pe plan este AM. Știm că oblica este perpendiculară pe dreapta din plan: VM ⊥ BC.

Prin reciproca teoremei celor trei perpendiculare: dacă oblica este perpendiculară pe o dreaptă din plan, atunci și proiecția ei este perpendiculară pe acea dreaptă ⇒ AM ⊥ BC. □

În consecință, AM este înălțimea din A a triunghiului ABC.

b) Lungimea AM

Aflăm aria triunghiului ABC cu formula lui Heron. Semiperimetrul:

p = (15 + 13 + 14) / 2 = 21.

A_ABC = √(p(p−15)(p−13)(p−14)) = √(21 · 6 · 8 · 7) = √7056 = 84 cm².

Cum AM este înălțimea pe BC: A_ABC = (BC · AM)/2, deci

AM = 2 · A_ABC / BC = 2 · 84 / 14 = 12 cm.

AM = 12 cm

c) Distanța de la V la BC

Deoarece VM ⊥ BC, distanța de la V la dreapta BC este VM. În triunghiul VAM, dreptunghic în A (căci VA ⊥ (ABC) ⇒ VA ⊥ AM):

VM = √(VA² + AM²) = √(36 + 144) = √180 = 6√5 cm.

d(V, BC) = 6√5 cm

Recapitulare: a) AM ⊥ BC prin reciproca TCP · b) AM = 12 cm (Heron, A = 84) · c) d(V,BC) = 6√5 cm.

Teorema celor trei perpendiculare

Legenda culorilor

Trei probleme rezolvate

Lasă un răspuns Anulează răspunsul

Multumim pentru vizita!